Xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian là kiến thức toán học rất quan trọng với các em học sinh. Đặc biệt theo các thống kê thì đề thi đại học năm nào cũng có câu hỏi liên quan đến phần kiến thức này. Vì thế với tư cách là một học sinh đang ôn thi năm cuối cấp các em cần nắm vững cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian chuẩn. Vậy chính xác như thế nào? Các em hãy cùng cập nhật top 3 cách xác định chuẩn và hiệu quả sau đây.

Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian bằng định nghĩa 1

Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian bằng định nghĩa được áp dụng khá nhiều. Và trong đó với cách này đầu tiên các em hãy vận dụng “định nghĩa 1 về góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

Nội dung  định nghĩa 1 về xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Định nghĩa 1 được tổng kết nội dung bao hàm như sau: “Cho hai đường thẳng bất kỳ trong không gian. Để tính góc giữa hai đường thẳng ấy thì tại một đường thẳng bạn lấy một điểm bất kỳ. Sau đó từ điểm vừa lấy dựng một đường thẳng song song với đường thẳng còn lại. Lúc này góc giữa hai đường thẳng cần tính ban đầu sẽ trở thành góc giữa đường thẳng lấy điểm và đường thẳng vừa dựng.

Ví dụ phân tích cụ thể định nghĩa

Để hiểu hơn định nghĩa và áp dụng chuẩn xác cho bài toán cụ thể các em hãy tham khảo thêm ví dụ phân tích.

• Cho hai đường thẳng a, b bất kỳ trong không gian
• Tại đường thẳng a lấy một điểm O bất kỳ
• Từ điểm O dựng một đường thẳng mới. Đường thẳng này phải đảm bảo song song với đường thẳng b. Đặt tên cho đường thẳng mới là Ob’
• Lúc này góc giữa hai đường thẳng (kí hiệu (a;b)) sẽ được tính bằng góc giữa hai đường thẳng a, Ob’ ((a;Ob’)).

Như vậy là cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian bằng định nghĩa 1 có thể được hiểu là đưa về bài toán mặt phẳng. Đơn giản bởi vì sau quá trình tạo dựng thì (a,b) trong không gian đã biến thành (a,Ob’) trong mặt phẳng. Theo đó lúc này các em có thể tính toán bình thường.

Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian bằng định nghĩa 2

Định nghĩa 1 sẽ cho phép các em tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian chuẩn xác. Tuy nhiên trong một số trường hợp không thể hoặc khó dựng được một đường thẳng mới. Lúc này các em có thể chuyển qua áp dụng cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian bằng định nghĩa 2.

Nội dung định nghĩa 2 về cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

Muốn tính góc giữa 2 đường thẳng bất kỳ trong không gian ta cần lấy một điểm O. Điểm này có vị trí nằm bất kỳ trong không gian, không thuộc cả hai đường thẳng cần tính góc. Sau đó ta lần lượt dựng hai đường thẳng song song với hai đường thẳng ban đầu bắt nguồn từ O. Lúc này góc giữa hai đường thẳng ban đầu cần tính sẽ trở thành góc giữa hai đường thẳng mới dựng trong.

Ví dụ phân tích chi tiết cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian bằng định nghĩa 2

Nếu các em chưa hiểu hết nội dung định nghĩa 2 thì hãy xem thêm các phân tích từ ví dụ cụ thể. Tất nhiên các em có thể tiến hành theo từng bước phân tích của ví dụ tính góc giữa hai đường thẳng bất kỳ a, b.

• Lấy điểm O bất kỳ trong không gian
• Tiếp theo từ điểm O dựng đường thẳng Oa’. Trong đó Oa’ sẽ song song với a (Oa’ //a)
• Tiếp tục từ điểm O dựng đường thẳng Ob’. Trong đó Ob’ đảm bảo song song với b (Ob’ // b).
• Lúc này góc giữa hai đường thẳng a, b đã trở thành góc giữa hai đường thẳng Oa’, Ob’ ((a;b) = (Oa’;Ob’).

Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian bằng Vectơ

Đây là cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian được áp dụng khi các em khó tính bằng định nghĩa. Đặc biệt hơn nữa so với 2 cách trên thì cách này hữu dụng hơn trong các đề thi. Vậy chính xác cách tính góc giữa hai đường thẳng bằng Vectơ như thế nào?

Đầu tiên, nắm vững các kiến thức liên quan đến vectơ cần thiết khi tính toán

Để áp dụng cách tính bằng vectơ hiệu quả thì các em cần nắm vững các kiến thức liên quan đến vectơ đường thẳng. Và trong đó quan trọng nhất đó chính là kiến thức liên quan đến tích vô hướng hai vectơ cùng gốc. Nếu các em chưa biết thì có thể tham khảo công thức trong hình ảnh dưới đây:

Tiến hành áp dụng cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian bằng vectơ

Ở đây cách tính sẽ được áp dụng với hai đường thẳng cho trước là AB, CD trong không gian.  Và các bước tính thông qua việc sử dụng công cụ vectơ sẽ tiến hành như sau:

Bước 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ  AB, CD

Để tính tích vô hướng giữa vectơ AB và vecto CD ta áp dụng cách đưa về cùng gốc. Ở đây có 4 gốc để các em lựa chọn. Lần lượt đó là gốc A, B, C, D.  Sau đó các em tính tích vô hướng của các vectơ cùng gốc. Cụ thể các em có thể tham khảo hình ảnh minh họa bên dưới với trường hợp đưa hai vectơ AB, CD về cùng gốc A.

Bước 2: Tính Cosin góc giữa hai vectơ AB và CD

Các bạn có thể xem hướng dẫn chi tiết trong video dưới đây

Sau khi tính được tích vô hướng giữa hai vectơ AB, CD các em tiếp tục tính Cosin góc của hai vectơ đó. Đơn giản thôi các em hãy cứ áp dụng công thức tính như bình thường. Cụ thể các em có thể tham khảo hình ảnh

Như vậy là sau khi tính ra được Cosin góc giữa hai vectơ đồng nghĩa các em có thể suy luận ra góc cần tìm. Đến đây kết thúc quá trình tìm góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

Nhìn chung các em có thể tự lựa chọn cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian cho mình. Hãy luôn phân tích bài toán và các dữ liệu để áp dụng cách thức tính đúng đắn. Đặc biệt với dạng bài toán này để thuần thục các em nên chăm chỉ làm thêm nhiều ví dụ.